Inner rates of finite morphisms - Institut de Mathématiques de Marseille 2014- Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2024

Inner rates of finite morphisms

Taux internes de morphismes finis

Résumé

In this thesis, we study germs of finite morphisms defined on germs of isolated singularities of complex analytic surfaces with values in the complex plane. We introduce a family of analytical invariants associated with these morphisms, which we call inner rates. The first principal result of this thesis consists of a formula that relates the inner rates to the topological data of the polar curve associated with the finite morphism. This generalizes a theorem previously proved by Belotto, Fantini, and Pichon in the case where the finite morphism in question is a generic linear projection. Using the inner rates, we investigate the polar curve associated with the finite morphism while fixing the topological data of the germ of the surrounding complex surface. This allows us to address a problem known as polar exploration. The second principal result consists in using the inner rates to study the geometry of the Milnor fibers of a non-constant holomorphic function, particularly the asymptotic concentration of Gaussian curvature along these fibers generalizing a result of Garcia Barroso and Teissier. The third principal result of this thesis contributes to the study of Lipschitz geometry of germs of complex surfaces. Our result involves the explicit construction of an infinite family of germs of complex surfaces that are topologically equivalent but not metrically equivalent in the Lipschitz sense. Our construction is based on a notion of inner rate associated to a primary ideal for the maximal ideal of the local ring of the isolated singularity.
Dans cette thèse, nous étudions les germes de morphismes finis définis sur les germes irréductibles de surfaces complexes à singularité isolée et à valeurs dans le plan complexe. Nous introduisons une famille d'invariants analytiques associés à ces morphismes, que nous appelons les taux internes. Le premier résultat de cette thèse consiste en une formule reliant les taux internes aux données topologiques de la courbe polaire associée au morphisme fini. Cela généralise un théorème précédemment démontré par Belotto, Fantini et Pichon dans le cas où le morphisme fini en question est une projection linéaire générique. En utilisant les taux internes, nous étudions la courbe polaire associée au morphisme fini tout en fixant les données topologiques du germe de surface complexe environnant. Ceci nous permet d'obtenir des contributions à un problème connu sous le nom d'exploration polaire. Le deuxième résultat principal consiste à utiliser les taux internes pour étudier la géométrie des fibres de Milnor d'une fonction holomorphe non constante, et en particulier, la concentration asymptotique de la courbure gaussienne le long de ces fibres. Nous généralisons ainsi un théorème de Garcia Barroso et Teissier. Le troisième résultat principal de cette thèse contribue à l'étude de la géométrie Lipschitz des germes de surfaces complexes à singularités isolées. Notre résultat consiste en la construction explicite d'une famille infinie de germes de surfaces complexes qui sont topologiquement équivalents, mais qui ne sont pas équivalents du point de vue métrique dans le sens Lipschitz. Notre construction se base sur une notion de taux internes associés à un idéal primaire pour l'idéal maximal de l'anneau local d'un germe de surface à singularité isolée.
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tel-04636835 , version 1 (05-07-2024)

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  • HAL Id : tel-04636835 , version 1

Citer

Yenni Cherik. Inner rates of finite morphisms. Mathematics [math]. Aix marseille université, 2024. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04636835⟩
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